Hogyan tanultuk meg részekre osztani a világot?
A törtek ma a matematika természetes részei. Tudjuk, hogy egy pizza fele 1/2, háromnegyede 3/4, vagy hogy egy receptben fél liter tejre van szükség. De ez a jelölés nem mindig létezett. Az emberiségnek évezredekre volt szüksége ahhoz, hogy kialakuljon a ma megszokott számláló–nevező rendszer.
Valójában a törtek története nem a matematikáról, hanem a megosztásról szól: hogyan osszunk el igazságosan kenyeret, földet, gabonát vagy pénzt.
Történet
Ókor
Ókori Mezopotámia – amikor a 60 lett a kulcs
A törtek legkorábbi ismert használatát az ókori sumérok és babilóniaiak világában találjuk, több mint négyezer évvel ezelőtt. Ők nem tízes, hanem hatvanas számrendszerben számoltak.
Ez elsőre különösnek tűnhet, de a 60 rendkívül sok számmal osztható maradék nélkül: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 10-zel, 12-vel, 15-tel, 20-szal és 30-cal is. Emiatt kiválóan alkalmas volt a mindennapi megosztásokra.
Amikor egy földterületet vagy gabonakészletet fel kellett osztani, a babilóniaiak könnyedén számoltak negyedekkel, harmadokkal vagy hatodokkal. Bár nem írták le a törteket mai alakjukban, gondolkodásuk már ugyanazt a matematikai fogalmat használta.
Érdekes módon ennek öröksége ma is velünk él: egy óra 60 percből, egy perc 60 másodpercből áll, a kör pedig 360 fokos.
Ókori Egyiptom – az egységtörtek birodalma
Az egyiptomiak egészen más utat választottak. A híres Rhind-papirusz tanúsága szerint szinte minden törtet egységtörtek összegére bontottak, vagyis olyan törtekre, amelyek számlálója mindig 1.
Így például a mai
3/4 helyett inkább 1/2 + 1/4,
2/3 helyett pedig külön szabályok szerint felírt egységtörteket használtak.
Ez a rendszer első pillantásra bonyolultnak tűnik, mégis kiválóan működött a gabonaelosztásban, az adók beszedésében és az építkezések során.
Az egyiptomi írnokok már több mint 3500 évvel ezelőtt részletes táblázatokat készítettek arról, hogyan lehet különböző törteket egységtörtek összegére bontani.
Az ókori görögök – a törtek helyett arányok
A görög matematikusokat kevésbé érdekelte a kenyér vagy a gabona elosztása. Ők inkább a geometria és az elméleti matematika felé fordultak.
Eukleidész és követői a törteket sokszor arányként értelmezték. Számukra a 2:3 nem egyszerűen két egész hányadosát jelentette, hanem két hosszúság, terület vagy mennyiség kapcsolatát.
Ez a szemlélet alapvetően meghatározta a geometria fejlődését, és később nagy szerepet játszott a hasonlóság, az arányosság és a mérés tudományában.
A rómaiak – tizenkét részre osztott világ
A római birodalomban a törtek elsősorban a kereskedelemben és a pénzügyekben jelentek meg.
Kedvelték a 12-es felosztást. Egy egész egységet tizenkét részre osztottak, ezek közül egy részt uncia néven ismertek. Innen származik az angol ounce (uncia) szó is.
A 12-es rendszer rendkívül praktikus volt: könnyen lehetett felezni, harmadolni, negyedelni vagy hatodolni. Ezért sokáig fennmaradt a súly- és mértékrendszerekben is.
Középkor
Az arab tudósok forradalma
A Nyugat-Római Birodalom bukása után Európában a matematika fejlődése lelassult, miközben az iszlám világ tudósai megőrizték és továbbfejlesztették az ókori ismereteket.
Bagdad, Damaszkusz és más tudományos központok könyvtáraiban görög, indiai és perzsa műveket fordítottak arab nyelvre, majd új eredményekkel gazdagították őket.
Ebben az időszakban különösen fontos volt al-Hvárizmi (al-Khwarizmi) munkássága. Bár elsősorban az algebra megalapozójaként ismerjük, művei hozzájárultak az indiai helyiértékes számrendszer és az arab számjegyek elterjedéséhez is, amelyek nélkül a modern törtszámítás elképzelhetetlen lenne.
Az arab matematikusok már rendszeresen végeztek műveleteket törtekkel:
összeadták és kivonták őket, szorozták és osztották őket, egyszerűsítették az alakjukat, valamint csillagászati és mérnöki számításokban is alkalmazták őket.
Különösen fontos szerepet kaptak a csillagászatban, ahol rendkívül pontos szögek és időtartamok kiszámítására volt szükség, valamint a földmérésben és az öröklési jogi számításokban is.
A reneszánsz és a kereskedelem fellendülése
A 12–15. század között Európába fokozatosan visszakerültek az arab matematikai ismeretek. Az itáliai kereskedővárosok – Velence, Genova vagy Firenze – bankárai és kereskedői egyre gyakrabban dolgoztak törtekkel.
Árfolyamokat számoltak, nyereséget osztottak, kamatokat és adókat vezettek, ezért szükség volt egy egyszerűbb és egységesebb jelölésre.
Ebben nagy szerepet játszott Leonardo Fibonacci, aki 1202-ben megjelent Liber Abaci című művében népszerűsítette az indiai–arab számjegyeket és a velük végzett számításokat Európában. A könyv megmutatta, hogy a kereskedelemben mennyivel egyszerűbb ezeket használni, mint a római számokat.
A következő évszázadokban a törtekkel végzett számítások a kereskedők, könyvelők és tudósok mindennapi eszközeivé váltak.
Hogyan alakult ki a mai törtalak?
A ma megszokott 3/4 alak hosszú fejlődés eredménye.
Az ókorban nem létezett egységes jelölés: a különböző kultúrák szavakkal, külön jelekkel vagy saját számrendszerük részeként írták le a törteket.
Al-Hassár a XII. században élt marokkói matematikus alkalmazta törtek esetében elsőként a mai napig használt, vízszintes vonallal elválasztott számláló és nevező jelölést, amit később a nyugati matematikában Fibonacci is átvett. A középkor végére Európában kezdett elterjedni az a szokás, hogy a két számot egymás fölé írják, közéjük pedig egy vízszintes vonalat húznak. Ez a törtvonal eredetileg egyszerű elválasztó jel volt, később azonban matematikai jelentést kapott: az osztást fejezte ki.
Ezzel együtt megszilárdult két alapfogalom is:
Számláló – a felső szám, amely megmutatja, hány részt veszünk.
Nevező – az alsó szám, amely azt mutatja meg, hány egyenlő részre osztottuk az egészet.
Így a 3/4 azt jelenti, hogy egy egészet négy egyenlő részre osztottunk, és ezek közül hármat veszünk figyelembe.
Ez a jelölés rendkívül egyszerűnek bizonyult, ezért fokozatosan az egész világon elterjedt, és ma is ugyanebben a formában használjuk.
Napjainkban
Ma a törtek szinte mindenhol jelen vannak körülöttünk. Receptekben, építkezéseken, zenében, térképeken, sporteredményekben, valószínűségszámításban, statisztikában vagy akár a számítógépek működésében is folyamatosan találkozunk velük.
A több ezer éves fejlődés eredményeként a törtek ma már nem csupán matematikai fogalmak, hanem az emberiség egyik legfontosabb eszközei arra, hogy pontosan leírjuk a részek és az egész kapcsolatát.
MATEK MOZI
Törtek története – Kenyérosztás Egyiptomban
🎨Színezd ki a történetet!
Nézd meg a Matekmozit, majd keltsd életre a történetet a saját színeiddel!
